Gabriel's Horn er et paradoksalt matematisk objekt. Det har nemlig et endeligt rumfang og et uendeligt overfladeareal.

Sagt på en anden måde: hvis Gabriel's Horn er en malerbøtte, skal der bruges mere maling til at male dens overflade, end til at fylde den op! Eller, for nu at gentage mig selv, Gabriel's Horn kan aldrig indeholde maling nok til at male sin egen overflade - lige meget hvor tyndt et lag maling det males med!

Gabriel's Horn konstrueres ved at tage grafen for y=(1/x), og smide alt væk hvor x<1, og så rotere resten omkring x-aksen.

Rumfanget kan regnes ud til at være

V = π ≈ 3.1415

og, som nævnt, overfladearealet til at være

A = ∞

---

Hermed har jeg fortalt hvad jeg ville, men dem som vil se matematiske beviser kan læse videre...

En kurve der roteres om x-aksen har

rumfang: V = ∫

b a

π·(r x)2 dx

areal:   A = ∫

b a

2π·(r x)·√1 + (r' x)2 dx

For Gabriels Horn er: r x = 1/x , a = 1 og b > 1

V = ∫

b 1

π·(1/x)2 dx

= π·[-1/x]

b 1

  = π·( -1/b + 1 )
så V → π når b → ∞

A = endeskive + rør

= π·(1/1)2 + ∫

b 1

2π·(1/x)·√1 + (-1/x2)2 dx

> π + ∫

b 1

2π·(1/x) dx

= π + 2π·[ln x]

b 1

  = π + 2π·(ln b)
så A → ∞ når b → ∞

QED